GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Muchas veces nos hemos hecho la pregunta, ¿por qué los cuerpos soltados desde cierta altura se precipitan a tierra? o ¿por qué la Luna se mantiene en órbita alrededor de la Tierra? o ¿por qué los planetas se mueven alrededor del Sol?. Todas estas preguntas tienen hoy en día una respuesta satisfactoria gracias a la Ley Universal de la Gravitación.
Desde hace muchos siglos atrás (400 a.C.) que el ser humano se interesó por entender el movimiento de los cuerpos celestes; fueron los griegos los primeros en este campo.
Si bien los instrumentos ópticos de precisión tardaron todavía 2 000 años en aparecer la simple observación del cielo nocturno había proporcionado los datos suficientes respecto al movimiento de los cuerpos celestes, para establecer diversas teorías al respecto.
Las primeras basadas en la hipótesis hechas por Aristóteles, consideraban a la Tierra como el centro del Universo (Sistema geocéntrico), lo cual hacía que describir el movimiento de los cuerpos celestes fuese sumamente complicado. Esta teoría con el tiempo sufrió ciertas modificaciones, pero aún tenía serias limitaciones para explicar con sencillez una serie de fenómenos que se observaban.
Fue alrededor del año 1 600 d.C. cuando un joven estudiante polaco Nicolás Copérnico tuvo la audacia de establecer una teoría en la cual se considera al Sol como el centro de nuestro sistema, y los demás planetas incluido la Tierra orbitando alrededor de él. La teoría de Copérnico no era del todo satisfactoria, ya que él sólo aceptaba como trayectoria para los planetas una circunferencia y eso hacia que su teoría tenga muchas limitaciones, pero estableció las bases para que luego Johannes Kepler y posteriormente Isaac Newton dieran la gran respuesta a: ¿Cómo funciona el Universo?
NEWTON Y LA LEY DE LA GRAVITACIÓN
Muchas veces pensamos que fue Newton quien estableció el concepto de gravedad, pero antes de Newton ya se conocía el concepto de gravedad.
El gran acierto de Newton fue establecer que los cuerpos que se precipitaban a tierra, la Luna orbitando alrededor de la Tierra, los planetas moviéndose alrededor del Sol, son todas manifestaciones de una atracción universal que experimentan los cuerpos.
¡Extendió el concepto de gravedad a todo el Universo!
Newton estableció que dos cuerpos cualesquiera experimentan una atracción mutua y la fuerza que define dicha atracción se denomina: Fuerza gravitatoria (func {{F from {`} to ➝} { `} _ g}).
El valor de la fuerza gravitacional es directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
G: Constante de gravitación
G: func {6,67.10 sup {-11}`{N.m sup 2} over {kg sup 2}}
Para el caso de la atracción entre los cuerpos y la Tierra la fuerza gravitacional, también se denomina fuerza de gravedad (func {{F from {`} to ➝} { `} _ g}).
g = Valor de la aceleración de la gravedad a una altura “h” respecto de la superficie terrestre.
MT: Masa de la Tierra MT = 6.1024 kg
RT: Radio terrestre RT = 6,4.106 m
OBSERVACIÓN :
En las inmediaciones de la superficie terrestre: h << R
func {g``=``{GM sub T} over {RT sup 2}``=``9,8``m/s sup 2}
Cabe resaltar que antes que Newton enunciara la Ley Universal de la Gravitación, un astrónomo alemán Johannes Kepler ya había establecido tres leyes relacionadas con el movimiento de los planetas, basándose en las observaciones, hechas por su maestro Tycho Brahe, dichas leyes son reconocidas actualmente como las leyes de Kepler, pero tener presente que estas leyes se pueden deducir de la ley establecida por Newton. Veamos a continuación las leyes de Kepler.
Primera Ley (Ley de las órbitas)
Todos los planetas se trasladan alrededor del Sol, describiendo trayectorias elípticas, donde el Sol ocupa uno de los focos de la elipse.
Segunda Ley (Ley de las áreas)
Durante el movimiento que desarrolla un planeta, el radio vector que une el Sol con el planeta “barre” áreas iguales, cuando los intervalos de tiempo son iguales.
Es decir el área barrida por el radio vector es proporcional al tiempo empleado.
Notar que si tAB = tCD; entonces A1 = A2
Tercera Ley (Ley de los periodos)
El periodo (T) de un planeta (tiempo que emplea en dar una vuelta alrededor del Sol) elevado al cuadrado es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita elíptica que describe.
Para el caso de dos planetas A y B.
La importancia del trabajo de Newton radica en que proporcionó una explicación sencilla a diversos fenómenos como por ejemplo las mareas oceánicas, y además permitió predecir el descubrimiento de algunos planetas de nuestro Sistema Solar. (Neptuno y Plutón)
Para que se dé cuenta de la pequeñez de la fuerza de atracción entre dos objetos “comunes”, calcule la fuerza con la que dos personas se atraen (gravitacionalmente). Para simplificar los cálculos, suponga que las masas de las personas son m1=m2=100 kg, que la distancia entre ellas es d=1 m y considere que G=10-10 N.m2/kg2
A) 10-3 N B) 10-6 N C) 10-9 N
D) 106 N E) 103 N
02. Como los cuerpos celestes tienen masas enormes, la fuerza gravitacional entre ellos es muy grande (aun cuando la distancia que los separa es, también enorme). A fin de comprobar lo anterior, calcule el valor aproximado de la fuerza de atracción entre la Tierra y la Luna, considerando que G =10-10 N.m2/kg2, masa de la Tierra MT=1025 kg, masa de la Luna ML = 1023 kg y distancia de la Tierra a la Luna d= 108 m.
A) 1022 N B) 1020 N C) 1010 N
D) 1015 N E) 1025 N
03. Si en la superficie terrestre la aceleración de la gravedad es 9,8 m/s2, determinar el valor de dicha aceleración en un punto situado a una altura igual a “3R/4”, de la superficie terrestre (R = radio de la Tierra)
A) 6,85 m/s2 B) 3,42 m/s2 C) 3,2 m/s2
D) 4,8 m/s2 E) 1,6 m/s2
04. En qué relación están la gravedad de dos puntos, situados uno a una profundidad igual a la tercera parte del radio terrestre y el otro a una altura doble del radio terrestre ambos respecto de la superficie de la Tierra
A) 1; 2 B) 9; 2 C) 1: 3
D) 3; 2 E) 6; 1
05. La masa de la Luna es 1/80 de la masa de la Tierra y su radio 1/4 de ésta. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna?
(g = gravedad en la superficie terrestre)
A) g/20 B) g/4 C) g/5
D) g/10 E) g/16
06. Un cuerpo pesa en la Tierra 180 N. Determine ¿Qué peso tiene en un planeta cuya masa es el doble de la terrestre y cuyo radio es el triple del radio de la Tierra?
A) 20 N B) 40 N C) 180 N
D) 45 N E) 80 N
07. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie del Sol cuyo radio equivale a 100 radios terrestres y cuya densidad media es 1/4 de la densidad terrestre?
A) 125 m/s2 B) 375 m/s2 C) 245 m/s2
D) 300 m/s2 E) 250 m/s2
08. Si consideramos que la separación entre la Tierra y la Luna es “d” y que además la masa de la Tierra es igual a 81 veces la masa de la Luna, decir en qué lugar del espacio entre estos dos cuerpos se puede colocar una pequeña masa para que se encuentre en equilibrio. Dar respuesta como la distancia de aquel punto a la Luna
A) 0,9 d B) 0,6 d C) 0,1 d
D) 0,2 d E) 0,5 d
09. Dos cuerpos se atraen con una fuerza de 800 N. Si uno de ellos duplica su masa y el otro la triplica y la distancia entre ellos se cuadriplica, ¿cuál es la nueva fuerza de atracción entre ellos?
A) 100 N B) 200 N C) 300 N
D) 400 N E) 600 N
10. Determinar la fuerza resultante que actúa sobre la masa “m”
(Considere : func { F``=`` { G m sup 2} over { a sup 2}})
A) func { { 5`F} over 11} B) func { { 8`F} over 11} C) func { { 11`F} over 4}
D) func { { 3`F} over 4} E) func { { 5`F} over 4}
11. Si dos cuerpos de masa “m” cada uno, separados por una distancia “L” se atraen con una fuerza “F”. Hallar la fuerza resultante que soporta la masa “m” del sistema mostrado
A) 3 F B) 2 F C) 5 F
D) 7 F E) 8 F
12. Un planeta de masa “M” tiene un satélite de masa “m” que gira circulantemente alrededor del planeta, en una órbita de radio “R”. ¿A qué distancia del planeta entre m y M, la aceleración de la gravedad es cero?
(M = K2m)
A) func { R over { 1``+`` K}} B) func { { K`` R} over { 1``+`` K}} C) func { { K`` R} over { K``-`` 1}}
D) func { { R} over { K}} E) func { { K sup 2 `` R} over { 1``+`` K sup 2}}
13. Sabiendo que un satélite gira alrededor de su órbita y además se halla a una altura “h” sobre la superficie terrestre, donde la aceleración de la gravedad es la 16 ava. parte de la gravedad terrestre. Calcular con qué velocidad gira el satélite alrededor de su órbita
A) func { sqrt { { G``Mt} over { 4R}}} B) func { sqrt { { G``Mt} over { 2R}}} C) func { sqrt { { G``Mt} over { 16R}}}
D) func { sqrt { { G``Mt} over { R}}} E) func { sqrt { { G``Mt} over { 8R}}}
14. Dos satélites de masas M1 y M2 giran alrededor de un planeta, en órbitas circulares de radios R1 y R2 respectivamente. Si el periodo del satélite M1 es de 120 días, hallar el periodo del satélite M2
(R2 = 4R1)
A) 960 días B) 720 días C) 680 días
D) 480 días E) 240 días
15. Un planeta “M” tiene 2 satélites “A” y “B” los que giran a su alrededor, describiendo órbitas aproximadamente circulares. Si el periodo de “B” es 160 días y el radio de la órbita de giro de “A” es la cuarta parte del radio de la órbita de “B”, hallar el periodo de “A”
A) 10 días B) 15 días C) 20 días
D) 25 días E) 30 días
16. Dos satélites de la Tierra cada una de masa “m”, se mueven en órbitas circulares concéntricas con la Tierra. Si sus posiciones son 2R y 4R respecto del centro terrestre; en que relación están sus energías cinéticas
A) 1/6 B) 1/2 C) 3
D) 1/4 E) 4
17. En el sistema planetario mostrado, el planeta demora 6 meses en ir del apogeo al punto “P” y al perigeo 15 meses. Si el área total de la elipse es “S”, hallar el área sombreada
A) S/4 B) S/3 C) S/6
D) S/5 E) S/2
18. En la figura se observa el movimiento de un planeta en torno a una estrella “E” . Si se sabe que desde la posición P tarda, el quíntuple en llegar a “A”, que de “C” hasta “P”, encontrar qué fracción de la superficie elíptica es la porción sombreada
A) 1/6 B) 2/3 C) 4/5
D) 3/2 E) N.A.
19. Calcular la densidad de un planeta de forma esférica, si un satélite gira a su alrededor en una órbita circular con periodo “T” y a una distancia de la superficie del planeta igual a la mitad de su radio “R” (G = cte universal de gravitación)
A) 3π/8GT2 B) 27π/8GT2 C) 18π/8GT2
D) 9π/2GT2 E) 81π/8GT2
20. Un cuerpo de masa “m” es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad “V0”. Desde la superficie de la tierra, donde su masa es “M” y su radio “R”. Calcular su velocidad, cuando ha recorrido una altura igual a “R”
func { LEFT ( V sub 0 ``=`` sqrt { { 2GM} over R} RIGHT ) }
A) func {{ V sub 0 } over 2} B) func {{ sqrt 2``V sub 0 } over 2} C) func {{ V sub 0 } over 4}
D) func {{ sqrt 2``V sub 0 } over 4} E)sqrt 2 V0
TAREA
21. Imagine que la masa del Sol se volviese repentinamente 4 veces más grande. Para que la fuerza de atracción del Sol sobre la Tierra no sufriese alteraciones, la distancia entre la Tierra y el Sol tendría que volverse.
A) 4 veces mayor B) 4 veces menor
C) 2 veces mayor D) 2 veces menor
E) 8 veces mayor
22. Sea “F” la fuerza de atracción del Sol sobre un planeta. Si la masa del Sol se volviese 3 veces más grande; la del planeta, 5 veces mayor, y la distancia entre ellos se redujera a la mitad, la fuerza de atracción entre el Sol y el planeta sería :
A) 3F B) 15F C) 7,5F
D) (15/4)F E) 60F
23. Un satélite es colocado en órbita a 36 000 km de altura (misma altura del Intelsat), de modo que el plano de su órbita pasa por los polos de la Tierra. Un observador situado en el polo sur, ve pasar el satélite sobre su cabeza a las 8 h de la mañana de un día determinado. La próxima vez que el satélite pase sobre este observador será :
A) A las 12 h del mismo día
B) A las 20 h del mismo día
C) A las 24 h del mismo día
D) A las 8 h del día siguiente
E) A las 12 h del día siguiente
24. Se muestra la órbita de un satélite alrededor del Sol. Si demora 100 días en ir del punto “A” al punto “B”, determinar el periodo de dicho satélite A1=A2=2A3=4A4
A) 375 días B) 250 días C) 275 días
D) Ninguna E) 200 días
25. El radio de Júpiter es casi 10 veces mayor que el de la Tierra. Si la masa de dicho planeta exterior (o sea, de los que están fuera de la órbita terrestre) fuera igual a la de la Tierra, ¿cuántas veces menor que en ésta sería la aceleración de la gravedad en Júpiter?
A) 100 veces menor
B) 50 veces menor
C) 50 veces mayor
D) 100 veces mayor
E) 150 veces menor
26. Suponga que Júpiter posee un satélite cuya órbita tiene un radio igual al de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra. El periodo del movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, como usted ya debe saber, es de casi 27 días. El periodo de este supuesto satélite de Júpiter, sería mayor, menor o igual a 27 días
A) Menor B) Mayor C) Igual
D) F.D. E) Mayor igual
27. La masa de Júpiter es casi 300 veces mayor que la de la Tierra. Si el radio de aquel planeta fuera igual al radio terrestre, ¿cuántas veces mayor que en la Tierra sería la aceleración gravitatoria en Júpiter?
A) 150 veces menor
B) 300 veces mayor
C) 500 veces menor
E) 300 veces menor
E) 500 veces mayor
28. Un cuerpo de masa “m” se abandona desde una altura igual al radio de la Tierra (h = R), respecto de la superficie terrestre de masa “M”. Hallar la velocidad del cuerpo “m” cuando choca con la superficie.
G = constante de gravitación universal
A) func { sqrt { GM over R}} B) func { sqrt {{ 2GM } over R}} C) func { sqrt { GM over {2R}}}
D) func { sqrt { GM over { 3R}}} E) func { sqrt {{3 G M } over R}}
29. Un cuerpo pesa al nivel del mar 75 N. ¿A qué altura debe elevarse para que su nuevo peso sea 3 N?
R = radio terrestre
A) R B) 2R C) 3R
D) 4R E) 5R
30. Suponga que un satélite se encuentra en órbita sobre el ecuador de la Tierra, a la misma altura que el satélite estacionario, pero girando en sentido contrario a la rotación de la Tierra
A. El tiempo que este satélite tarda en dar una vuelta completa en su órbita, ¿también sería de 24 h?
B. ¿Dicho satélite sería estacionario?
C. Si un observador en la Tierra viese pasar este satélite sobre su cabeza en un instante dado, ¿después de qué tiempo volvería a suceder esto?
A) V; F; 12 horas
B) F; V; 10 horas
C) V; V; 20 horas
D) F; F; 10 horas
E) F; V; 25 horas
Categoría:
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
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